行列の作用素ノルムと最大列和/行和

定義

行列$A \in \mathbb{R}^{n \times m}$に対する行列の作用素ノルム$\|A\|_p$は、次のように定義されます。

$$\|A\|_p \coloneqq \sup_{x \in \mathbb{R}^m,\, x \neq 0} \frac{ \|Ax\|_p }{ \|x\|_p }$$

右辺の$\|\cdot\|_p$は、ベクトルに対する$p$ノルムです。

目標

行列の1ノルム、supノルムに対して、次が成り立ちます。このページでは、これらを示します。

$$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|,\quad \|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$

1. 1ノルムが最大列和であること

$\displaystyle \|A\|_1 \geq \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$ と $\displaystyle \|A\|_1 \leq \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$ に分けて示します。

1.1. 1ノルムは最大列和以上であること

$\displaystyle k \coloneqq \argmax_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$とします。 つまり、$k$は、$A$の各列のうち、その列の各成分の絶対値の和が最大である列の列番号です。 このような$k$に対し、第$k$成分のみが$1$で、他の成分が$0$であるベクトル$e_k$は、 行列の作用素ノルムの定義から、

$$\|A\|_1 = \sup_{x \in \mathbb{R}^m,\, x \neq 0} \frac{ \|Ax\|_1 }{ \|x\|_1 } \geq \frac{ \|Ae_k\|_1 }{ \|e_k\|_1 }$$

を満たします。右辺は$A$の第$k$列の成分の絶対値の和に等しいので、

$$\|A\|_1 \geq \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$

が示されました。

1.2. 1ノルムは最大列和以下であること

ベクトルの1ノルムの定義から、ゼロベクトルでない任意の$x \in \mathbb{R}^m$に対して、

$$\|Ax\|_1 = \sum_{i=1}^{n} \bigl|(Ax)_i\bigr| = \sum_{i=1}^{n} \left| \sum_{j=1}^{m} a_{ij} x_j \right|$$

が成り立ちます。ここで、$(Ax)_i$は、ベクトル$Ax$の第$i$成分です。 さらに、$j$で和をとる部分に三角不等式を適用すると、

$$\|Ax\|_1 \leq \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}| |x_j| = \sum_{j=1}^{m} \left( |x_j| \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \right)$$

と評価できます。任意の$j$に対して$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \leq \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$ であり、右辺は$j$によらない値なので、

$$\begin{align*} \|Ax\|_1 &\leq \sum_{j=1}^{m} \left( |x_j| \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \right)\\ &= \left( \sum_{j=1}^{m} |x_j| \right) \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \end{align*}$$

とできます。したがって、ベクトルの1ノルムの定義から、$\displaystyle \|Ax\|_1 \leq \|x\|_1 \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$ が得られます。ゼロベクトルでない任意の$x$に対してこの不等式が成立するので、

$$\displaystyle \|A\|_1 = \sup_{x \in \mathbb{R}^m,\, x \neq 0} \frac{ \|Ax\|_1 }{ \|x\|_1 } \leq \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$

が示されました。

2. supノルムが最大行和であること

前節と同様に、 $\displaystyle \|A\|_\infty \geq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$ と $\displaystyle \|A\|_\infty \leq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$ に分けて示します。

2.1 supノルムが最大行和以上であること

$\displaystyle \ell = \argmax_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$とします。 つまり、$\ell$は、$A$の各行のうち、その行の各成分の絶対値の和が最大である行の行番号です。 このような$\ell$を用いて、ベクトル$\xi \in \mathbb{R}^m$の各成分を次のように定めます。

$$\xi_j = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & (a_{\ell j} \geq 0)\\ -1 & (a_{\ell j} < 0) \end{array} \right.$$

この$\xi$の決め方によって、

$$\|A\xi\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$

が成り立ち、行列の作用素ノルムの定義から得られる、

$$\|A\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}^m,\, x \neq 0} \frac{ \|Ax\|_\infty }{ \|x\|_\infty } \geq \frac{ \|A\xi\|_\infty }{ \|\xi\|_\infty }$$

とあわせて、

$$\|A\|_\infty \geq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$

が示されました。

2.2 supノルムが最大行和以下であること

ベクトルのsupノルムの定義から、ゼロベクトルでない任意の$x \in \mathbb{R}^m$に対して、

$$\|Ax\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} (Ax)_i = \max_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j=1}^{m} a_{ij} x_j \right|$$

が成り立ちます。三角不等式を用いると、

$$\|Ax\|_\infty \leq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}| |x_j|$$

と評価できます。さらに、任意の$j$に対して$|x_j| \leq \|x\|_\infty$であり、右辺は$j$によらないので、

$$\|Ax\|_\infty \leq \|x\|_\infty \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$

とできます。ゼロベクトルでない任意の$x$に対してこの不等式が成立するので、

$$\displaystyle \|A\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}^m,\, x \neq 0} \frac{ \|Ax\|_\infty }{ \|x\|_\infty } \leq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$

が示されました。