双曲線関数まとめ

定義

双曲線関数$\cosh x,\, \sinh x,\, \tanh x$を以下のように定義します。

$$\cosh x \coloneqq \frac{e^x + e^{-x}}{2},\quad \sinh x \coloneqq \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad \tanh x \coloneqq \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

それぞれ、「ハイパボリックコサイン」、「ハイパボリックサイン」、「ハイパボリックタンジェント」などと読むのが一般的です。

性質

$\cos x,\, \sin x,\, \tan x$に似た記号が使われるだけに、双曲線関数には三角関数と似たような等式が成り立ちます。

相互関係

$$\begin{align} \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} \\ \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1\\ 1 - \tanh^2 x &= \frac{1}{\cosh^2 x} \end{align}$$

式(1)は定義から明らかでしょう。式(2)も定義を用いて簡単な計算をすれば直ちに従います。式(3)は式(2)の両辺を$\cosh^2 x$で割ってから式(1)を用いれば従います。

三角関数の場合と比較すると、式(1)は同じ形をしている一方で、式(2)、(3)は符号が異なることに注意しましょう。

"倍角"公式

$$\begin{align} \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x\\ &= 2 \cosh^2 x - 1\\ &= 1 + 2 \sinh^2 x\\ \sinh 2x &= 2 \cosh x \sinh x \end{align}$$

三角関数との関係

$$\begin{align} \cosh x &= \cos(i x)\\ \sinh x &= -i \sin(i x) \end{align}$$

微分

$$\begin{align} (\cosh x)' &= \sinh x\\ (\sinh x)' &= \cosh x\\ (\tanh x)' &= \frac{1}{\cosh^2 x} \end{align}$$

積分

$$\begin{align} \int \cosh x \, \mathrm{d} x &= \sinh x + \mathrm{const.}\\ \int \sinh x \, \mathrm{d} x &= \cosh x + \mathrm{const.} \end{align}$$