生成消滅演算子

定義

調和振動子のハミルトニアン

$$\gdef\p{\hat{p}} \gdef\x{\hat{x}} \gdef\a{\hat{a}} \gdef\ad{\hat{a}^\dagger} \gdef\qty#1{\left({#1}\right)} H = \frac{\p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 \x^2}{2}$$

について、消滅演算子$\a$と生成演算子$\ad$は以下で定義される。

$$\begin{align*} \a &= \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \x + \frac{i}{\sqrt{2m \hbar \omega}} \p\\ \ad &= \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \x - \frac{i}{\sqrt{2m \hbar \omega}} \p \end{align*}$$

性質

交換関係

生成消滅演算子の交換関係は、以下で与えられる。

$$[\a,\ad] = 1$$

ハミルトニアンとの関係

生成消滅演算子を用いると、ハミルトニアンは以下のように表せる。

$$H = \hbar \omega \qty{\ad \a + \frac{1}{2}}$$

$\x,\,\p$との関係

生成消滅演算子を用いると、位置演算子$\x$、および運動量演算子$\p$は以下のように表せる。

$$\begin{alignat*}{2} \x &= &\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} (\a + \ad)\\ \p &= -i &\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} (\a - \ad) \end{alignat*}$$

固有値

$n$を非負整数とするとき、ハミルトニアンの固有値$E_n = \hbar \omega (n + 1/2)$と、対応する固有状態$\ket{n}$に対して、以下が成り立つ。

$$\begin{alignat*}{2} \a \ket{n} &= &\sqrt{n} &\ket{n-1}\\ \ad \ket{n} &= &\sqrt{n+1} &\ket{n+1} \end{alignat*}$$